P001-solution

문제

실수 전체에서 정의된 함수 $$F(u)=\begin{cases} u+1 & (u<4),\\ u-2 & (u\ge4) \end{cases}$$ 에 대하여 $$H(x)=\lim_{t\to1^-}F(tx)$$ 라 하자. 다음 극한값을 구하여라. $$\lim_{x\to4^+}H(x)$$

안쪽 극한을 계산할 때 무엇을 고정하는지, 입력값 $tx$가 $4$의 어느 쪽에 있는지를 근거로 설명하여라.

풀이

고정한 $x>4$에 대하여 $4/x<1$이다. $t\to1^-$이면 결국 $4/x<t<1$이므로 $4<tx<x$이다. 따라서 $$H(x)=\lim_{t\to1^-}(tx-2)=x-2\qquad(x>4).$$ 그러므로 $\lim_{x\to4^+}H(x)=2$이다.

$t<1$에서 $tx<x$라는 부등식은 $tx<4$를 뜻하지 않는다. 먼저 $x$를 고정하고 안쪽 극한을 계산한 뒤, 그 결과에 바깥 극한을 적용한다.

해의 유일성 검증

각 $x>4$에서 안쪽 극한은 유일하게 $x-2$이고, 이 식의 우극한은 유일하게 $2$이다. 두 구간의 식은 경계에서 서로 다른 극한값을 주므로 구간을 잘못 선택하면 답이 달라진다.

조건의 비중복성 검증

경계 $4$, 안쪽 접근 $t\to1^-$, 바깥 접근 $x\to4^+$는 입력의 구간을 결정한다. 함수의 양쪽 정의는 전체 정의역에서 $H$를 정의하고 잘못된 구간 선택과 올바른 선택을 구별한다. 경계 포함 표시는 $F$를 모든 실수에서 정의하기 위한 명세이다.

사용한 아이디어

현재 대화의 학습 목표: 안쪽 극한에서 $x$를 고정하고 입력이 경계를 넘는 기준을 확인한다. 저장소에서 IDEA 문서를 찾지 못했으므로 사용한 아이디어 ID는 없다. 기존 문항의 곱, 매개변수, 연속성 조건 및 최솟값 요구는 사용하지 않았다.