P002-solution

문제

실수 전체에서 정의된 함수 $$F(u)=\begin{cases} u^2 & (u<-3),\\ u+5 & (u\ge-3) \end{cases}$$ 에 대하여 $$H(x)=\lim_{t\to1^-}F(tx)$$ 라 하자. 다음 두 값을 각각 구하고, 같은지 판단하여라. $$\lim_{x\to-3^-}H(x),\qquad H(-3)$$

두 계산에서 입력값 $tx$가 $-3$의 어느 쪽에 있는지 설명하여라.

풀이

먼저 $x<-3$을 고정한다. $0<-3/x<1$이므로 $t\to1^-$에서 결국 $-3/x<t<1$이다. 음수 $x$를 곱하면 $x<tx<-3$이다. 따라서 $tx$는 고정한 $x$의 오른쪽에서 접근하지만 경계 $-3$의 왼쪽 구간에 있으므로 $$H(x)=\lim_{t\to1^-}(tx)^2=x^2\qquad(x<-3).$$ 그러므로 $\lim_{x\to-3^-}H(x)=9$이다.

이번에는 $x=-3$을 고정한다. $t<1$이면 $-3t>-3$이므로 $$H(-3)=\lim_{t\to1^-}(-3t+5)=2.$$ 따라서 두 값은 다르다.

해의 유일성 검증

$x<-3$에서 입력은 결국 $u<-3$ 구간에 있고, $x=-3$에서는 $u>-3$ 구간에 있다. 각 구간식은 연속이므로 극한값은 각각 유일하게 $9$, $2$이다. $x=0$에 관한 별도 처리는 두 요구값에 관계없다.

조건의 비중복성 검증

음수 경계는 $t<1$에서 $tx>x$가 되는 경우를 연습하게 한다. 안쪽 접근 방향, 바깥 접근 방향, 경계점의 별도 요구는 서로 다른 역할을 갖는다. 양쪽 함수식은 서로 다른 경계 극한값을 주어 두 계산의 차이를 드러낸다. 경계 포함 표시는 전체 정의역을 명시한다.

사용한 아이디어

현재 대화의 학습 목표: 음수를 곱할 때 접근 방향이 바뀌며, 고정한 점의 오른쪽과 구간 경계의 오른쪽은 구별해야 한다. 저장소에서 IDEA 문서를 찾지 못했으므로 사용한 아이디어 ID는 없다.