P003-solution

문제

실수 전체에서 정의된 함수 $$F(u)=\begin{cases} -2 & (u\le1),\\ 5 & (u>1) \end{cases}$$ 에 대하여 $$H(x)=\lim_{t\to0^+}F(x-t)$$ 라 하자. 다음 두 값을 각각 구하여라. $$A=\lim_{x\to1^+}H(x),\qquad B=\lim_{s\to0^+}F\bigl((1+s)-s\bigr).$$

$A$를 계산할 때 $x=1+s$, $t=s$로 함께 움직이게 두어 $A=B$라고 판단해도 되는지, 두 식에서 무엇을 고정하는지 설명하여라.

풀이

$A$의 안쪽 극한에서 $x>1$을 고정한다. $t\to0^+$이면 결국 $0<t<x-1$이므로 $x-t>1$이다. 따라서 모든 $x>1$에 대해 $H(x)=5$이고, $A=5$이다.

$B$에서는 $x=1+s$, $t=s$에 해당하는 두 양을 함께 변화시킨다. 입력 $(1+s)-s$는 모든 $s>0$에서 정확히 $1$이므로 $B=F(1)=-2$이다.

따라서 $A\ne B$이며 두 계산을 동일시할 수 없다. $A$에서는 $x$를 고정한 채 $t$의 극한을 먼저 계산하지만, $B$에서는 두 양이 하나의 변수 $s$에 의해 함께 움직인다.

해의 유일성 검증

각 $x>1$에서 충분히 작은 모든 양수 $t$에 대해 $F(x-t)=5$이다. 따라서 $A$는 유일하게 $5$이다. $B$의 입력은 항상 $1$이고 경계값도 정의되어 있으므로 $B$는 유일하게 $-2$이다.

조건의 비중복성 검증

안쪽과 바깥의 접근 방향 및 $x-t$라는 입력은 $A$에서 경계의 오른쪽 구간을 선택하게 한다. $B$의 두 항은 경계값을 계속 유지하게 한다. $u=1$이 첫 번째 구간에 포함된다는 명세는 $B$의 값 결정에 직접 필요하다. 두 구간의 서로 다른 값은 처리 방식의 차이를 수치로 드러낸다.

사용한 아이디어

현재 대화의 학습 목표: 안쪽 극한에서 변수를 고정하는 처리와 두 양을 동시에 움직이는 처리는 구별한다. 저장소에서 IDEA 문서를 찾지 못했으므로 사용한 아이디어 ID는 없다. 대학 수준의 다변수 극한 정의를 사용하지 않는다.