P004-solution

문제

다음 문제에서 $t$는 실수이다. 모든 극한은 양쪽 극한이며, 극한값은 유한한 실수를 뜻한다. 극한값이 존재하지 않으면 그 이유도 설명하여라.

연습 1

다음 극한값을 $t=2$, $t=-1$일 때 각각 구하여라. $$\lim_{x\to t}(x+3t)$$ 각 경우에 $t$를 주어진 수로 모두 바꾼 극한식을 먼저 쓰고 계산하여라.

연습 2

실수 $t$에 대하여 다음 극한값을 구하여라. $$\lim_{x\to t}\frac{x^2-t^2}{x-t}$$ 계산 과정에서 $t$를 어떻게 취급하는지, 분모에 $x-t$가 있어도 약분할 수 있는 이유는 무엇인지 설명하여라.

연습 3

다음 극한값을 $t=2$, $t=0$, $t=1$일 때 각각 조사하여라. $$\lim_{x\to t}\frac{x+t}{x^2-t}$$ 각 경우에 $t$를 주어진 수로 모두 바꾼 극한식을 먼저 쓰고, 극한값의 존재 여부와 존재할 때의 값을 밝혀라.

연습 4

다음 등식을 만족하는 모든 실수 $t$를 구하여라. 그러한 $t$가 없으면 없다고 답하여라. $$\lim_{x\to t}\frac{x^2-t}{x-1}=1$$

연습 5 — 선택

$t\ne0,1$인 실수 $t$에 대하여 $$H(t)=\lim_{x\to t}\frac{x+t}{x^2-t}$$ 라 하자. 다음 두 극한을 각각 조사하여라. $$A=\lim_{t\to0}H(t),\qquad B=\lim_{x\to0}\frac{x+0}{x^2-0}$$ 각 극한값의 존재 여부와 존재할 때의 값을 밝히고, 두 식을 같은 계산으로 볼 수 있는지 설명하여라.

연습 1의 풀이

$x\to t$에서는 $t$ 하나를 정한 뒤 $x$를 그 값에 가까이 보낸다. 따라서 $t=2$일 때는 접근하는 값과 식 안의 $t$를 모두 $2$로 바꾼다. $$\lim_{x\to2}(x+6)=8.$$ 이 계산을 하는 동안 $t$는 계속 $2$이고 $x$만 변한다.

다음 계산에서는 $t$를 $-1$로 정한다. $$\lim_{x\to-1}(x-3)=-4.$$ 계산을 바꿀 때 $t$를 다르게 정할 수 있지만, 각각의 극한을 취하는 동안에는 정한 값을 유지한다.

연습 2의 풀이

이번에는 $t$의 구체적인 값을 지정하지 않았다. 실수 $t$ 하나를 고정해 계산하면, 그 결과를 $t$에 관한 식으로 나타낼 수 있다.

분자와 분모에 $x=t$를 바로 대입하면 모두 $0$이므로, 대입만으로 극한값을 알 수 없다. $x\ne t$에서 인수분해하여 약분하면 $$\frac{x^2-t^2}{x-t} =\frac{(x-t)(x+t)}{x-t} =x+t.$$ 극한은 $x=t$에서의 함수값이 아니라 그 점에 가까운 $x\ne t$에서의 값으로 결정되므로 이 약분이 가능하다. 따라서 $$\lim_{x\to t}\frac{x^2-t^2}{x-t} =\lim_{x\to t}(x+t)=2t.$$ 이는 모든 실수 $t$에 대해 성립한다. 예를 들어 $t=0$이어도 약분한 식은 $x$이므로 극한값은 $0$이다.

연습 3의 풀이

t=2인 경우

$$\lim_{x\to2}\frac{x+2}{x^2-2} =\frac{4}{2}=2.$$ 분모의 극한이 $0$이 아니므로 분자와 분모에 직접 대입할 수 있다.

t=0인 경우

$$\lim_{x\to0}\frac{x+0}{x^2-0} =\lim_{x\to0}\frac1x.$$ $x\to0^-$이면 $1/x\to-\infty$이고, $x\to0^+$이면 $1/x\to+\infty$이다. 따라서 양쪽 극한은 존재하지 않는다. 분자와 분모가 모두 $0$으로 간다는 사실만으로 유한한 극한값이 정해지지는 않는다.

t=1인 경우

$$\lim_{x\to1}\frac{x+1}{x^2-1} =\lim_{x\to1}\frac1{x-1}.$$ $x$가 $1$에 충분히 가깝고 $x\ne1$이면 $x+1\ne0$이므로 약분할 수 있다. 왼쪽에서는 $-\infty$, 오른쪽에서는 $+\infty$로 발산하므로 양쪽 극한은 존재하지 않는다.

세 경우 모두 먼저 $t$를 고정한 뒤 $x$의 극한을 조사했다.

연습 4의 풀이

$t\ne1$일 때는 $$\lim_{x\to t}\frac{x^2-t}{x-1} =\frac{t^2-t}{t-1}=t.$$ 이 범위에서 극한값이 $1$이려면 $t=1$이어야 하지만, 이는 $t\ne1$이라는 적용 범위에 속하지 않는다. 따라서 이 범위에는 해가 없다.

아직 $t=1$일 때 원래 등식이 성립하는지는 확인하지 않았다. 이 값에서는 원래 식으로 돌아가 $t$를 고정한다. $$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1} =\lim_{x\to1}(x+1)=2.$$ 이 값도 $1$이 아니므로 주어진 등식을 만족하는 실수 $t$는 없다.

연습 5의 풀이

$H(t)$를 계산하는 동안에는 $t$를 고정한다. 정의된 범위 $t\ne0,1$에서 분모의 극한 $t^2-t$는 $0$이 아니므로 $$H(t)=\frac{2t}{t^2-t}=\frac2{t-1}.$$ 이렇게 $x$의 극한을 계산한 뒤에는 $t$만 남은 함수 $H$를 얻는다. 이제 $A$에서는 이 함수의 입력 $t$를 $0$으로 보낸다. $$A=\lim_{t\to0}\frac2{t-1}=-2.$$ $H(0)$은 정의하지 않았지만, $0$에 가까운 $t\ne0$에서의 값으로 극한을 구할 수 있다.

$B$는 원래 식에서 $t=0$을 고정한 경우이다. 연습 3에서 확인했듯 $$B=\lim_{x\to0}\frac1x$$ 이므로 양쪽 극한은 존재하지 않는다.

따라서 두 식은 같은 계산이 아니다. $A$는 각 $t\ne0,1$에서 $x$의 극한을 먼저 구해 만든 함수의 극한이고, $B$는 $t=0$을 고정한 하나의 $x$에 관한 극한이다. $A$에서도 안쪽 극한을 계산하는 동안에는 $t$가 고정되어 있다.

해의 유일성 검증

• 연습 1: 다항식의 극한이므로 두 값은 각각 $8$, $-4$로 유일하다.
• 연습 2: 모든 실수 $t$에 대해 $x\ne t$에서 $x+t$와 일치하므로 극한값은 $2t$로 유일하다.
• 연습 3: $t=2$에서는 극한값이 $2$이다. $t=0,1$에서는 각각 양쪽에서 부호가 다른 무한대로 발산하므로 유한한 극한값이 없다는 판정이 확정된다.
• 연습 4: 실수 전체를 $t\ne1$과 $t=1$로 빠짐없이 나누었으며 어느 경우에도 등식이 성립하지 않는다. 해집합은 공집합으로 유일하게 결정된다.
• 연습 5: $A=-2$이고 $B$의 양쪽 극한은 존재하지 않는다. $H$의 정의역과 두 극한의 대상이 명시되어 있어 해석이 결정된다.

조건의 비중복성 검증

이 자료는 하나의 미지수를 여러 조건으로 결정하는 문제가 아니라, 서로 다른 처리 방식을 연습하는 독립 문항들의 묶음이다.

• 연습 1의 두 수는 양수와 음수인 $t$를 실제 수로 고정하는 연습을 제공한다. $3t$는 접근값뿐 아니라 식 안의 $t$도 함께 바꾸어야 함을 드러낸다.
• 연습 2의 $x^2-t^2$와 $x-t$는 고정된 $t$를 포함한 약분을 가능하게 한다. $x=t$에서 식이 정의되지 않는다는 점은 약분의 적용 범위를 설명하는 데 필요하다.
• 연습 3의 $t=2$는 직접 대입이 가능한 경우, $t=0$은 $0/0$이지만 극한이 존재하지 않는 경우, $t=1$은 분자의 극한이 $0$이 아닌 경우이다. 양쪽 극한이라는 조건은 존재 여부의 판정 기준을 명확히 한다.
• 연습 4의 목표값 $1$은 일반식에서 나온 후보가 직접 대입의 적용 범위 밖에 놓이게 한다. 분자의 $-t$와 분모의 $x-1$은 $t=1$에서 실제 극한값이 $2$가 되게 하므로 후보를 원래 식으로 확인하는 과정에 기여한다.
• 연습 5의 정의역 $t\ne0,1$은 $H$의 값을 유한한 실수로 정한다. 서로 다른 극한 기호와 $B$에 명시된 $0$은 두 계산에서 고정하는 대상의 차이를 결정한다.

사용한 아이디어

현재 대화에서 사용자가 지정한 학습 목표를 바탕으로 구성했다.

• $\lim_{x\to t}$에서 $t$를 고정하고 $x$를 변화시킨다.
• 고정한 수의 구체적인 값을 지정하지 않아도 그 수에 관한 식으로 극한값을 나타낼 수 있다.
• 직접 대입이나 약분으로 얻은 식의 적용 범위를 유지하고, 제외된 값은 원래 식에서 확인한다.
• 각 $t$에서 $x$의 극한을 먼저 구한 뒤 $t$의 극한을 취하는 계산과, 처음부터 특정 $t$를 고정한 계산을 구별한다.

아이디어 출처는 현재 대화의 학습 요청이며, 사용한 아이디어 문서 ID는 없다.