P004

다음 문제에서 $t$는 실수이다. 모든 극한은 양쪽 극한이며, 극한값은 유한한 실수를 뜻한다. 극한값이 존재하지 않으면 그 이유도 설명하여라.

연습 1

다음 극한값을 $t=2$, $t=-1$일 때 각각 구하여라. $$\lim_{x\to t}(x+3t)$$ 각 경우에 $t$를 주어진 수로 모두 바꾼 극한식을 먼저 쓰고 계산하여라.

연습 2

실수 $t$에 대하여 다음 극한값을 구하여라. $$\lim_{x\to t}\frac{x^2-t^2}{x-t}$$ 계산 과정에서 $t$를 어떻게 취급하는지, 분모에 $x-t$가 있어도 약분할 수 있는 이유는 무엇인지 설명하여라.

연습 3

다음 극한값을 $t=2$, $t=0$, $t=1$일 때 각각 조사하여라. $$\lim_{x\to t}\frac{x+t}{x^2-t}$$ 각 경우에 $t$를 주어진 수로 모두 바꾼 극한식을 먼저 쓰고, 극한값의 존재 여부와 존재할 때의 값을 밝혀라.

연습 4

다음 등식을 만족하는 모든 실수 $t$를 구하여라. 그러한 $t$가 없으면 없다고 답하여라. $$\lim_{x\to t}\frac{x^2-t}{x-1}=1$$

연습 5 — 선택

$t\ne0,1$인 실수 $t$에 대하여 $$H(t)=\lim_{x\to t}\frac{x+t}{x^2-t}$$ 라 하자. 다음 두 극한을 각각 조사하여라. $$A=\lim_{t\to0}H(t),\qquad B=\lim_{x\to0}\frac{x+0}{x^2-0}$$ 각 극한값의 존재 여부와 존재할 때의 값을 밝히고, 두 식을 같은 계산으로 볼 수 있는지 설명하여라.