27 설맞이 3-1 22번

22. 두 양수 a(a>1),ba(a>1), b에 대하여 두 곡선

y=ax,y=ax−8b−8by=a^x,\qquad y=a^{x-8b}-8b

가 직선 y=−x+5by=-x+5b와 만나는 두 점을 각각 A, B,
직선 y=−x+12by=-x+12b와 만나는 두 점을 각각 C, D라 할 때,
선분 CD 위의 점 E가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 두 점 A, E는 곡선 y=log⁡a(x+b)+by=\log_a(x+b)+b 위의 점이다.

(나) (삼각형 ACE의 넓이) =511×=\dfrac5{11}\times (사각형 ABDE의 넓이)

사각형 ABDC의 넓이를 구하시오. [4점]

1. 두 직선 위의 도형

구하는 것은 넓이이므로, 먼저 두 지수함수의 그래프가 만드는 선분의 길이와 두 직선 사이의 거리를 확인한다. 두 번째 지수함수의 그래프는 첫 번째 그래프를 오른쪽으로 8b8b, 아래로 8b8b만큼 평행이동한 것이다. 이 평행이동은 x+yx+y의 값을 바꾸지 않으므로 두 직선 x+y=5bx+y=5b, x+y=12bx+y=12b를 각각 자기 자신으로 옮긴다.

두 지수함수는 모두 증가함수이고, 두 직선의 기울기는 음수이므로 각 그래프와 각 직선의 교점은 유일하다. 따라서 A를 평행이동한 점이 B이고, C를 평행이동한 점이 D이다.

발상 · 같은 이동으로 생기는 두 선분

AB와 CD는 길이가 같고 평행하다. 따라서 ABDC는 평행사변형이고, 밑변과 높이는 곡선의 자세한 모양을 구하지 않아도 정해진다.

AB=CD=(8b)2+(−8b)2=82 b.AB=CD=\sqrt{(8b)^2+(-8b)^2}=8\sqrt2\,b.

두 평행선 사이의 거리는 12b−5b2=7b2\dfrac{12b-5b}{\sqrt2}=\dfrac{7b}{\sqrt2}이다. 넓이를 SS라 두면

S=[ABDC]=(82 b)7b2=56b2.S=[ABDC]=(8\sqrt2\,b)\frac{7b}{\sqrt2}=56b^2.

이제 bb를 정하면 된다.

2. 넓이 조건의 사용

T=[ACE]T=[ACE]라 두면 [ABDE]=S−T[ABDE]=S-T이므로 조건 (나)에서

T=511(S−T)⟹T=516S.T=\frac5{11}(S-T)\quad\Longrightarrow\quad T=\frac5{16}S.

삼각형 ACD의 넓이는 S/2S/2이고, 삼각형 ACE와 ACD는 밑변이 같은 직선 CD 위에 있어 높이가 같다. 따라서

CECD=[ACE][ACD]=5/161/2=58.\frac{CE}{CD}=\frac{[ACE]}{[ACD]}=\frac{5/16}{1/2}=\frac58.

E는 C에서 D 쪽으로 선분 CD의 5/85/8만큼 이동한 점이다. C에서 D로는 오른쪽 8b8b, 아래 8b8b만큼 이동하므로, C에서 E로는 오른쪽 5b5b, 아래 5b5b만큼 이동한다.

3. 두 점의 위치

기하적 비율만으로는 bb가 정해지지 않는다. 이를 결정하려면 같은 지수함수의 그래프 위의 두 점 A, C의 좌표를 알아야 한다. 조건 (가)가 그 위치를 제한한다.

함수 y=axy=a^x의 그래프 위의 점 (u,v)(u,v)를 직선 y=x+by=x+b에 대하여 대칭이동하면 (v−b,u+b)(v-b,u+b)가 된다. v=auv=a^u이면 u+b=log⁡a((v−b)+b)+bu+b=\log_a((v-b)+b)+b이므로, 주어진 지수함수와 로그함수의 그래프는 이 직선에 대하여 대칭이다.

발상 · 대칭이동한 점도 같은 직선 위에 있다

이 대칭이동 역시 x+yx+y의 값을 바꾸지 않는다. A를 대칭이동한 점은 로그함수의 그래프와 x+y=5bx+y=5b의 교점이다. 로그함수는 증가함수이고 이 직선의 기울기는 음수이므로 그 교점은 하나뿐이며, 이미 A가 그 교점이다. 따라서 A는 대칭축 위에 있다.

마찬가지로 C를 대칭이동한 점은 로그함수의 그래프와 x+y=12bx+y=12b의 유일한 교점 E이다.

A는 y=x+by=x+b와 x+y=5bx+y=5b 위에 있으므로

A=(2b,3b).A=(2b,3b).

C의 좌표를 (u,v)(u,v)라 하면, 앞 단계의 이동량과 대칭 관계로 E의 좌표를 두 가지로 나타낼 수 있다.

E=(u+5b, v−5b)=(v−b, u+b).E=(u+5b,\ v-5b)=(v-b,\ u+b).

따라서 v−u=6bv-u=6b이고, C가 놓인 직선에서 u+v=12bu+v=12b이다. 두 식을 풀면

C=(3b,9b).C=(3b,9b).
주의 · 대칭성을 적용하는 근거

대칭인 두 곡선의 공통점이 항상 대칭축 위에 있는 것은 아니다. 여기서는 증가함수의 그래프와 기울기가 음수인 직선의 교점이 유일하다는 사실이 A를 대칭이동한 점이 A와 일치함을 보장한다.

4. 값의 결정

A와 C가 모두 y=axy=a^x 위에 있으므로

a2b=3b,a3b=9b.a^{2b}=3b,\qquad a^{3b}=9b.

두 식을 나누어 ab=3a^b=3을 얻는다. 따라서

3b=a2b=(ab)2=9⟹b=3.3b=a^{2b}=(a^b)^2=9\quad\Longrightarrow\quad b=3.

이를 첫 단계의 넓이 식에 대입하면

[ABDC]=56⋅32=504\boxed{[ABDC]=56\cdot3^2=504}

부록 · 벡터의 기초부터 이 문제에 적용하기

이 부록은 벡터의 뜻을 처음 배우는 독자를 기준으로 썼다. 좌표로 이동을 나타내는 방법에서 시작하여, 필요한 연산을 하나씩 정의한 뒤 이 문제에 적용한다. 점의 좌표와 위치벡터, 실수와 벡터를 구분하면서 읽으면 된다.

1. 벡터와 위치벡터

벡터는 크기와 방향을 함께 나타내는 양이다. 평면벡터 u⃗=(2,−1)\vec u=(2,-1)는 좌표평면에서 오른쪽으로 2, 아래쪽으로 1만큼 이동하는 것을 나타낸다. 두 수 2와 −1을 이 벡터의 성분이라고 한다.

이 벡터를 나타내는 화살표는 시작점을 옮겨 그려도 된다. 이동하는 방향과 거리가 같으면 같은 벡터이다. 벡터의 크기는 화살표의 길이이며, 피타고라스 정리에 따라

∣u⃗∣=22+(−1)2=5.|\vec u|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5.

일반적으로 u⃗=(p,q)\vec u=(p,q)이면 ∣u⃗∣=p2+q2|\vec u|=\sqrt{p^2+q^2}이다. 크기가 0인 벡터 0⃗=(0,0)\vec 0=(0,0)를 영벡터라고 한다. 영벡터의 방향은 정하지 않는다.

한편 점 P(x,y)P(x,y)에 대하여 원점 O에서 P로 향하는 벡터 OP→=(x,y)\overrightarrow{OP}=(x,y)를 P의 위치벡터라고 한다. 성분은 점의 좌표와 같지만, 위치벡터는 ‘원점에서 그 점까지의 이동’을 나타낸다.

정보 · 이 부록의 표기 약속

점은 A, B, C처럼 보통 글자로, 그 점의 위치벡터는 A,B,C\mathbf A,\mathbf B,\mathbf C처럼 굵은 글자로 쓴다. 즉 A=OA→\mathbf A=\overrightarrow{OA}이다. 매개변수 a,ba,b는 실수이고, 굵은 글자의 벡터와 구분한다.

2. 덧셈·뺄셈·실수배가 뜻하는 것

벡터는 성분끼리 계산한다. 먼저 u⃗=(p,q)\vec u=(p,q)와 w⃗=(r,s)\vec w=(r,s)의 덧셈은

u⃗+w⃗=(p+r,q+s)\vec u+\vec w=(p+r,q+s)

로 정의한다. 이는 u⃗\vec u만큼 이동한 다음 w⃗\vec w만큼 더 이동한 결과이다. 예를 들어 (2,−1)+(1,3)=(3,2)(2,-1)+(1,3)=(3,2)이다.

뺄셈은 u⃗−w⃗=(p−r,q−s)\vec u-\vec w=(p-r,q-s)이다. 특히 두 점 P, Q의 위치벡터를 빼면 P에서 Q로 이동하는 벡터를 얻는다.

PQ→=Q−P.\overrightarrow{PQ}=\mathbf Q-\mathbf P.

연산을 위한 예로 P의 좌표가 (1,4)(1,4), Q의 좌표가 (4,2)(4,2)라면

Q−P=(4−1,2−4)=(3,−2).\mathbf Q-\mathbf P=(4-1,2-4)=(3,-2).

따라서 P에서 오른쪽으로 3, 아래쪽으로 2만큼 이동하면 Q에 도착한다. 이 관계를 위치벡터의 덧셈으로 다시 쓰면 Q=P+(3,−2)\mathbf Q=\mathbf P+(3,-2)이다.

실수 kk를 벡터에 곱하는 벡터의 실수배는

ku⃗=(kp,kq)k\vec u=(kp,kq)

이다. 영벡터가 아닌 벡터에 대하여 k>0k>0이면 방향이 같고 길이는 kk배이다. k<0k<0이면 방향이 반대이고 길이는 ∣k∣|k|배이며, k=0k=0이면 영벡터가 된다. 예를 들어 3(2,−1)=(6,−3)3(2,-1)=(6,-3), −12(2,−1)=(−1,12)-\frac12(2,-1)=(-1,\frac12)이다.

이제 B=A+t\mathbf B=\mathbf A+\mathbf t라는 식은 ‘A에서 이동벡터 t\mathbf t만큼 이동하면 B에 도착한다’는 뜻으로 읽을 수 있다.

3. 이 문제에 맞는 두 방향을 고르기

문제에서 두 지수함수의 그래프 사이의 이동은 오른쪽 8b8b, 아래쪽 8b8b이다. 따라서 이 이동을 나타내는 벡터는

t=(8b,−8b)=8b(1,−1).\mathbf t=(8b,-8b)=8b(1,-1).

성분의 공통인수를 묶어 쓸 수 있도록 다음 벡터를 정하자.

v=(1,−1),t=8bv.\mathbf v=(1,-1),\qquad \mathbf t=8b\mathbf v.

v\mathbf v는 기울기가 −1인 직선을 따라가는 방향이다. 실제로 (x,y)(x,y)에서 (x+s,y−s)(x+s,y-s)로 이동하면 좌표의 합 x+yx+y가 바뀌지 않는다. 따라서 v\mathbf v 방향의 이동은 직선 x+y=kx+y=k를 따라가는 이동이다.

두 평행선 사이의 거리와 대칭이동도 다루어야 하므로, 여기에 수직인 방향도 하나 정한다.

n=(1,1).\mathbf n=(1,1).

n\mathbf n은 기울기가 1인 방향이므로 v\mathbf v와 수직이다. 또한 대칭축 y=x+by=x+b에 평행하다. 두 벡터의 크기는 모두 2\sqrt2이다.

본문에서 확인한 대응점 관계를 벡터로 쓰면

B=A+8bv,\mathbf B=\mathbf A+8b\mathbf v,
D=C+8bv.\mathbf D=\mathbf C+8b\mathbf v.

두 식은 각각 AB→=8bv\overrightarrow{AB}=8b\mathbf v, CD→=8bv\overrightarrow{CD}=8b\mathbf v라는 뜻이다. 두 이동벡터가 같으므로 AB와 CD는 방향과 길이가 같고, ABDC는 평행사변형이다.

4. 내적은 두 벡터로부터 실수 하나를 만드는 연산

벡터의 내적은 같은 위치의 성분끼리 곱한 뒤 더하는 연산이다.

(p,q)⋅(r,s)=pr+qs.(p,q)\cdot(r,s)=pr+qs.

결과는 벡터가 아니라 실수이다. 예를 들어 (2,−1)⋅(1,3)=2−3=−1(2,-1)\cdot(1,3)=2-3=-1이다. 내적을 나타내는 가운데 점 ⋅\cdot을 벡터의 실수배와 구분해야 한다.

식계산 결과의 종류
3v=(3,−3)3\mathbf v=(3,-3)벡터의 실수배: 결과는 벡터
v⋅(x,y)=x−y\mathbf v\cdot(x,y)=x-y내적: 결과는 실수
(x−y+b)v(x-y+b)\mathbf v실수 x−y+bx-y+b를 벡터에 곱함: 결과는 벡터

z=(x,y)\mathbf z=(x,y)를 어떤 점의 위치벡터라고 하면, 앞서 정한 두 벡터와의 내적은

n⋅z=x+y,\mathbf n\cdot\mathbf z=x+y,
v⋅z=x−y.\mathbf v\cdot\mathbf z=x-y.

이다. 즉 n\mathbf n과 내적하면 좌표의 합을, v\mathbf v와 내적하면 두 좌표의 차를 얻는다. 이 때문에 이 문제에서 두 벡터를 사용하면 직선의 조건을 짧게 나타낼 수 있다.

내적은 길이와 각도에도 연결된다. 영벡터가 아닌 두 벡터 u⃗,w⃗\vec u,\vec w가 이루는 각을 θ\theta라 하면

u⃗⋅w⃗=∣u⃗∣ ∣w⃗∣cos⁡θ.\vec u\cdot\vec w=|\vec u|\,|\vec w|\cos\theta.

특히 두 벡터가 수직이면 내적은 0이다. 실제로 n⋅v=1−1=0\mathbf n\cdot\mathbf v=1-1=0이다.

크기가 1인 벡터를 단위벡터라고 한다. 단위벡터 e⃗\vec e와 영벡터가 아닌 w⃗\vec w가 이루는 각을 θ\theta라 하면, e⃗⋅w⃗=∣w⃗∣cos⁡θ\vec e\cdot\vec w=|\vec w|\cos\theta는 w⃗\vec w의 e⃗\vec e 방향 성분을 나타내는 실수이다. 이 수의 절댓값이 그 방향으로의 정사영의 길이이다. 내적의 부호는 성분이 e⃗\vec e와 같은 방향인지, 반대 방향인지를 알려 준다. w⃗=0⃗\vec w=\vec0이면 내적과 정사영의 길이는 모두 0이다.

주의 · 좌표의 합과 실제 거리는 다르다

n\mathbf n의 크기는 2\sqrt2이므로 n⋅z=x+y\mathbf n\cdot\mathbf z=x+y를 곧바로 거리로 읽으면 안 된다. 같은 방향의 단위벡터는 n^=n/2\widehat{\mathbf n}=\mathbf n/\sqrt2이고,

n^⋅z=x+y2.\widehat{\mathbf n}\cdot\mathbf z=\frac{x+y}{\sqrt2}.

이 수는 부호를 포함한 방향 성분이고, 위치벡터 z\mathbf z를 이 방향으로 정사영한 길이는 ∣x+y∣/2|x+y|/\sqrt2이다. 길이를 구할 때에는 절댓값도 취해야 한다.

5. 직선의 조건을 내적으로 쓰고 넓이 구하기

A와 C가 놓인 두 직선은 각각 x+y=5bx+y=5b, x+y=12bx+y=12b이다. 이 조건은 위치벡터를 이용하면

n⋅A=5b,n⋅C=12b\mathbf n\cdot\mathbf A=5b,\qquad\mathbf n\cdot\mathbf C=12b

가 된다. 이 식은 좌표의 합을 내적으로 바꾸어 쓴 것이다.

두 직선을 따라가는 방향은 v\mathbf v이고, 두 직선에 수직인 방향은 n\mathbf n이다. 따라서 두 직선 사이의 거리는 A에서 C까지의 이동을 n\mathbf n 방향으로 정사영한 길이와 같다. 내적을 성분끼리 계산하면

n⋅(C−A)\mathbf n\cdot(\mathbf C-\mathbf A)
=n⋅C−n⋅A=7b.=\mathbf n\cdot\mathbf C-\mathbf n\cdot\mathbf A=7b.

n\mathbf n을 단위벡터로 바꾸어 거리 hh를 구하면

h=∣n2⋅(C−A)∣=7b2.h=\left|\frac{\mathbf n}{\sqrt2}\cdot(\mathbf C-\mathbf A)\right|=\frac{7b}{\sqrt2}.

한편 밑변 AB의 길이는 이동벡터 t\mathbf t의 크기이므로

AB=∣t∣=∣8bv∣=82 b.AB=|\mathbf t|=|8b\mathbf v|=8\sqrt2\,b.

이제 밑변에 높이를 곱하면 된다.

S=[ABDC]=82 b⋅7b2=56b2.S=[ABDC]=8\sqrt2\,b\cdot\frac{7b}{\sqrt2}=56b^2.

이 계산에서는 내적이 두 평행선 사이의 높이를 구하는 역할을 했다. 넓이는 익숙한 평행사변형의 넓이 공식으로 구했다.

6. 선분 위의 점을 벡터로 나타내기

E는 선분 CD 위에 있으므로, C에서 D까지의 이동 중 어느 비율만큼 이동한 점으로 표현할 수 있다. 그 비율을

λ=CECD(0≤λ≤1)\lambda=\frac{CE}{CD}\qquad(0\le\lambda\le1)

이라 하자. 그리스 문자 λ\lambda는 ‘람다’라고 읽으며, 여기서는 선분의 길이의 비를 나타내는 실수이다. λ=0\lambda=0이면 E=C이고, λ=1\lambda=1이면 E=D이다. λ=1/2\lambda=1/2이면 E는 CD의 중점이다.

C에서 E까지는 C에서 D까지의 이동벡터의 λ\lambda배만큼 이동하므로

CE→=λCD→=λt.\overrightarrow{CE}=\lambda\overrightarrow{CD}=\lambda\mathbf t.

이를 위치벡터로 바꾸어 쓰면

E−C=λt,E=C+λt.\mathbf E-\mathbf C=\lambda\mathbf t,\qquad\mathbf E=\mathbf C+\lambda\mathbf t.

같은 식을 t=D−C\mathbf t=\mathbf D-\mathbf C로 풀어 쓰면 E=(1−λ)C+λD\mathbf E=(1-\lambda)\mathbf C+\lambda\mathbf D이다. 0<λ<10<\lambda<1일 때 선분 CD의 내분점을 나타내는 식이다.

이제 조건 (나)로 λ\lambda를 정한다. 삼각형 ACE와 ACD는 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변의 비 λ\lambda와 같다. 또한 [ACD]=S/2[ACD]=S/2이므로

[ACE]=λS2,[ACE]=\lambda\frac S2,
[ABDE]=S−λS2=(1−λ2)S.[ABDE]=S-\lambda\frac S2=\left(1-\frac\lambda2\right)S.

주어진 넓이비를 대입하고 양변을 SS로 나누면

λ2=511(1−λ2),\frac\lambda2=\frac5{11}\left(1-\frac\lambda2\right),
11λ=10−5λ⟹λ=58.11\lambda=10-5\lambda\quad\Longrightarrow\quad\lambda=\frac58.

따라서 다음 식이 나온다.

E−C=58(8bv)=5bv.\mathbf E-\mathbf C=\frac58(8b\mathbf v)=5b\mathbf v.

이는 좌표로 (5b,−5b)(5b,-5b)만큼 이동한다는 뜻이다. λ\lambda가 선분의 비라는 점과, 삼각형의 넓이에서는 여기에 1/21/2이 추가된다는 점을 구분하자.

7. 대칭이동 공식을 직접 만들기

이제 A와 C의 위치를 결정해야 한다. 두 점이 같은 지수함수의 그래프 위에 있으므로, 이들의 좌표가 정해지면 함수식에 대입할 수 있다. 여기에서 조건 (가)의 대칭 관계를 이용한다.

먼저 직선 y=x+by=x+b에 대한 대칭이동을 벡터로 나타내 보자. 위치벡터가 z=(x,y)\mathbf z=(x,y)인 점 P에서 이 직선에 내린 수선의 발을 H라고 하자.

대칭축에 수직인 방향은 v=(1,−1)\mathbf v=(1,-1)이므로 P에서 H까지의 이동은 어떤 실수 α\alpha에 대하여 −αv-\alpha\mathbf v로 쓸 수 있다. 따라서

H=z−αv.\mathbf H=\mathbf z-\alpha\mathbf v.

여기서 α\alpha의 부호는 P가 대칭축의 어느 쪽에 있는지에 따라 달라진다. H는 대칭축 위의 점이므로 xH−yH=−bx_H-y_H=-b, 즉

v⋅H+b=0.\mathbf v\cdot\mathbf H+b=0.

이 식에 H의 위치벡터를 대입하고 내적을 계산하면

v⋅z−α(v⋅v)+b=0.\mathbf v\cdot\mathbf z-\alpha(\mathbf v\cdot\mathbf v)+b=0.

v⋅v=12+(−1)2=2\mathbf v\cdot\mathbf v=1^2+(-1)^2=2이므로

α=v⋅z+b2,\alpha=\frac{\mathbf v\cdot\mathbf z+b}{2},
H=z−v⋅z+b2v.\mathbf H=\mathbf z-\frac{\mathbf v\cdot\mathbf z+b}{2}\mathbf v.

P를 이 직선에 대하여 대칭이동한 점을 Q라고 하면 H는 선분 PQ의 중점이다. 중점의 위치벡터는 두 끝점의 위치벡터의 평균이므로

H=z+Q2.\mathbf H=\frac{\mathbf z+\mathbf Q}{2}.

따라서 Q=2H−z\mathbf Q=2\mathbf H-\mathbf z이고, 위에서 구한 H를 대입하면

Q=z−(v⋅z+b)v.\mathbf Q=\mathbf z-(\mathbf v\cdot\mathbf z+b)\mathbf v.
발상 · 수선의 발을 먼저 구하고, 그만큼 한 번 더 이동한다

수선의 발 H까지의 이동량을 구한 다음 같은 이동을 한 번 더 하면 대칭이동한 점 Q에 도착한다. 이 때문에 H를 구할 때 있었던 분모 2가 마지막 식에서는 사라진다.

직선 y=x+by=x+b에 대한 대칭이동을 RR라 쓰면, 방금 얻은 식은

R(z)=z−(v⋅z+b)v.R(\mathbf z)=\mathbf z-(\mathbf v\cdot\mathbf z+b)\mathbf v.

이다. 이 식은 다음 순서로 계산한다. 먼저 내적으로 실수 v⋅z+b=x−y+b\mathbf v\cdot\mathbf z+b=x-y+b를 구한다. 그 실수에 v\mathbf v를 곱하여 이동벡터를 만든 뒤, 원래 위치벡터에서 뺀다.

실제로 성분으로 전개하면

R(z)=(x,y)−(x−y+b)(1,−1)R(\mathbf z)=(x,y)-(x-y+b)(1,-1)
=(x−(x−y+b), y+(x−y+b))=(x-(x-y+b),\ y+(x-y+b))
=(y−b,x+b).=(y-b,x+b).

따라서 본문에서 사용한 대칭이동한 점의 좌표와 일치한다.

계산을 확인하는 별도의 예로, 이 문단에서만 b=1b=1이고 P의 좌표가 (3,1)(3,1)이라고 해 보자. 대칭축은 y=x+1y=x+1이고,

v⋅z+b=3−1+1=3,\mathbf v\cdot\mathbf z+b=3-1+1=3,
R(z)=(3,1)−3(1,−1)=(0,4).R(\mathbf z)=(3,1)-3(1,-1)=(0,4).

따라서 대칭이동한 점 Q는 (0,4)(0,4)이다. 두 점의 중점 (32,52)(\frac32,\frac52)는 y=x+1y=x+1 위에 있고, 두 점을 잇는 선분은 그 직선에 수직이다.

8. 대칭 관계로 A와 C의 좌표 구하기

y=axy=a^x의 그래프 위의 점 (u,au)(u,a^u)를 방금 구한 식으로 대칭이동하면 (au−b,u+b)(a^u-b,u+b)가 된다. 이 점은 y=log⁡a(x+b)+by=\log_a(x+b)+b의 그래프 위에 있다. 따라서 이 대칭이동은 두 함수의 그래프를 서로 옮긴다.

또한 대칭이동한 점의 좌표의 합은 (y−b)+(x+b)=x+y(y-b)+(x+b)=x+y이므로 변하지 않는다. 따라서 A를 대칭이동한 점도 로그함수의 그래프와 직선 x+y=5bx+y=5b 위에 있다. 이 로그함수는 증가함수이고 직선의 기울기는 음수여서 교점은 유일하다. 이미 A가 그 교점이므로

R(A)=A.R(\mathbf A)=\mathbf A.

마찬가지로 C를 대칭이동한 점은 로그함수의 그래프와 x+y=12bx+y=12b의 유일한 교점 E이다. 따라서

R(C)=E.R(\mathbf C)=\mathbf E.

이제 첫 번째 식에 대칭이동 공식을 넣으면

A−(v⋅A+b)v=A.\mathbf A-(\mathbf v\cdot\mathbf A+b)\mathbf v=\mathbf A.

v=(1,−1)\mathbf v=(1,-1)은 영벡터가 아니므로 v\mathbf v에 곱해진 실수가 0이어야 한다. 따라서

v⋅A=−b.\mathbf v\cdot\mathbf A=-b.

A의 좌표를 (xA,yA)(x_A,y_A)라 하면, 앞서 얻은 n⋅A=5b\mathbf n\cdot\mathbf A=5b와 합쳐

xA+yA=5b,xA−yA=−b.x_A+y_A=5b,\qquad x_A-y_A=-b.

두 식을 더하고 빼면 xA=2bx_A=2b, yA=3by_A=3b이므로 A=(2b,3b)A=(2b,3b)이다.

다음으로 C에 대해서는 대칭이동 관계에서

E−C=−(v⋅C+b)v\mathbf E-\mathbf C=-(\mathbf v\cdot\mathbf C+b)\mathbf v

를 얻는다. 그런데 6절에서 넓이비를 이용해 E−C=5bv\mathbf E-\mathbf C=5b\mathbf v를 구했다. 같은 이동벡터를 두 가지로 쓴 것이므로

−(v⋅C+b)v=5bv.-(\mathbf v\cdot\mathbf C+b)\mathbf v=5b\mathbf v.

v\mathbf v은 영벡터가 아니므로 양쪽에서 이 벡터에 곱해진 실수가 같다. 성분으로 보면 k(1,−1)=l(1,−1)k(1,-1)=l(1,-1)에서 첫 번째 성분을 비교하여 k=lk=l을 얻는 것과 같다.

−(v⋅C+b)=5b,-(\mathbf v\cdot\mathbf C+b)=5b,
v⋅C=−6b.\mathbf v\cdot\mathbf C=-6b.

C의 좌표를 (xC,yC)(x_C,y_C)라 하면 n⋅C=12b\mathbf n\cdot\mathbf C=12b와 함께

xC+yC=12b,xC−yC=−6b.x_C+y_C=12b,\qquad x_C-y_C=-6b.

따라서 xC=3bx_C=3b, yC=9by_C=9b이고, C=(3b,9b)C=(3b,9b)이다.

9. 함수 위의 점이라는 조건으로 마무리하기

벡터로 정리한 것은 점들의 위치와 이동 관계이다. 이제 A와 C가 실제로 같은 지수함수 y=axy=a^x의 그래프 위에 있다는 조건을 쓴다.

a2b=3b,a3b=9b.a^{2b}=3b,\qquad a^{3b}=9b.

두 식을 나누면 ab=3a^b=3이고, 첫 번째 식에서

3b=(ab)2=9⟹b=3.3b=(a^b)^2=9\quad\Longrightarrow\quad b=3.

따라서 5절에서 구한 넓이는 S=56b2=504S=56b^2=504이다. 벡터는 기하 관계를 정리하는 데 사용했고, 도형의 실제 크기를 결정하는 데에는 함수식을 함께 사용했다.

10. 넓이를 행렬식으로 짧게 쓰는 이유

앞에서는 밑변과 높이를 구하여 넓이를 계산했다. 두 변을 나타내는 벡터의 성분만으로 같은 계산을 한 번에 하는 표기도 있다. 두 평면벡터 u⃗=(p,q)\vec u=(p,q), w⃗=(r,s)\vec w=(r,s)에 대하여

det⁡(u⃗,w⃗)=ps−qr\det(\vec u,\vec w)=ps-qr

로 정의한다. det⁡\det은 행렬식을 나타내는 기호이다. 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이는 이 값의 절댓값이다. 이 사실을 앞서 배운 내적과 높이로 확인해 보자.

u⃗≠0⃗\vec u\ne\vec0이라고 하자. 밑변을 u⃗=(p,q)\vec u=(p,q)로 잡으면, 이에 수직인 단위벡터로 다음을 쓸 수 있다.

e⃗=(−q,p)p2+q2.\vec e=\frac{(-q,p)}{\sqrt{p^2+q^2}}.

실제로 (p,q)⋅(−q,p)=0(p,q)\cdot(-q,p)=0이고 ∣e⃗∣=1|\vec e|=1이다. 따라서 다른 변 w⃗=(r,s)\vec w=(r,s)를 이 방향으로 정사영한 길이가 높이이며,

h=∣e⃗⋅w⃗∣=∣ps−qr∣p2+q2.h=|\vec e\cdot\vec w|=\frac{|ps-qr|}{\sqrt{p^2+q^2}}.

여기에 밑변의 길이 ∣u⃗∣=p2+q2|\vec u|=\sqrt{p^2+q^2}를 곱하면

∣u⃗∣h=∣ps−qr∣=∣det⁡(u⃗,w⃗)∣.|\vec u|h=|ps-qr|=|\det(\vec u,\vec w)|.

밑변 벡터가 영벡터이면 도형이 한 선분 또는 한 점으로 겹쳐 넓이가 0이고, 행렬식도 0이다. 따라서 이 경우에도 같은 넓이 식이 성립한다. 두 벡터의 순서를 바꾸면 행렬식의 부호가 바뀌므로, 넓이를 구할 때에는 절댓값을 취한다.

이 문제에서는 한 변이 t=AB→=(8b,−8b)\mathbf t=\overrightarrow{AB}=(8b,-8b)이고 다른 변이 w=AC→=C−A\mathbf w=\overrightarrow{AC}=\mathbf C-\mathbf A이다. w=(wx,wy)\mathbf w=(w_x,w_y)로 쓰면

det⁡(t,w)=(8b)wy−(−8b)wx\det(\mathbf t,\mathbf w)=(8b)w_y-(-8b)w_x
=8b(wx+wy)=8b n⋅w.=8b(w_x+w_y)=8b\,\mathbf n\cdot\mathbf w.

이미 n⋅(C−A)=7b\mathbf n\cdot(\mathbf C-\mathbf A)=7b를 구했으므로

S=∣det⁡(t,C−A)∣=56b2.S=|\det(\mathbf t,\mathbf C-\mathbf A)|=56b^2.

즉, 행렬식으로 쓴 넓이 식은 앞에서 계산한 ‘밑변×높이’를 성분 계산으로 모아 놓은 것이다.

11. 압축된 벡터 식을 다시 읽기

마지막으로 두 방향벡터를 이용해 위치벡터를 표현하는 방법을 확인하자. z=(x,y)\mathbf z=(x,y)를

z=αn+βv\mathbf z=\alpha\mathbf n+\beta\mathbf v

로 쓰려면 (x,y)=(α+β,α−β)(x,y)=(\alpha+\beta,\alpha-\beta)이어야 한다. 따라서

α=x+y2,β=x−y2,\alpha=\frac{x+y}{2},\qquad\beta=\frac{x-y}{2},
z=x+y2n+x−y2v.\mathbf z=\frac{x+y}{2}\mathbf n+\frac{x-y}{2}\mathbf v.

이는 벡터를 서로 수직인 두 방향으로 나누어 쓴 식이다. 각 방향에 곱해진 실수는 벡터의 실수배를 정하는 계수이다. 두 방향벡터의 크기가 2\sqrt2이므로, 계수 자체가 그 방향 성분의 길이는 아니다.

A의 좌표 (2b,3b)(2b,3b)와 A에서 C까지의 이동벡터 (b,6b)(b,6b)에 이 식을 적용하면

A=5b2n−b2v,\mathbf A=\frac{5b}{2}\mathbf n-\frac b2\mathbf v,
C−A=7b2n−5b2v.\mathbf C-\mathbf A=\frac{7b}{2}\mathbf n-\frac{5b}{2}\mathbf v.

첫 번째 식은 원점에서 A까지의 위치를, 두 번째 식은 A에서 C까지의 이동을 두 방향으로 나누어 나타낸다. 여기에 다음 식들을 더하면 나머지 점의 위치도 정해진다.

B−A=D−C=8bv,\mathbf B-\mathbf A=\mathbf D-\mathbf C=8b\mathbf v,
E−C=5bv.\mathbf E-\mathbf C=5b\mathbf v.

각 식을 성분으로 계산하면

A=(2b,3b),B=(10b,−5b),C=(3b,9b),D=(11b,b),E=(8b,4b).\begin{gathered}A=(2b,3b),\quad B=(10b,-5b),\\ C=(3b,9b),\quad D=(11b,b),\\ E=(8b,4b).\end{gathered}
정보 · 벡터 식을 읽는 순서

먼저 각 기호가 실수인지 벡터인지 확인한다. 이어서 성분으로 한 번 풀어 계산하고, 마지막으로 그 결과가 점의 위치인지, 이동인지, 내적으로 얻은 수인지 해석한다. 이 순서를 따르면 길게 보이는 대칭이동 식도 내적 → 실수배 → 벡터의 뺄셈이라는 익숙한 연산으로 읽을 수 있다.

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