지수함수 위의 사다리꼴: 풀이 점검과 해설

문제의 조건

넓이가 \(8\)인 사다리꼴 \(ABCD\)에 대해 다음 조건이 주어져 있습니다.

\(A=(0,3)\), \(B=(0,9)\)입니다.
\(C\)는 곡선 \(y=3^{\frac{x}{3}+1}\) 위에, \(D\)는 곡선 \(y=3^x\) 위에 있습니다.
직선 \(CD\)의 기울기는 \(m>0\)이고, \(C\)의 \(x\)좌표는 \(D\)의 \(x\)좌표보다 큽니다.

구하려는 값은 \(8m^3\)입니다.

1. 처음 풀이에서 바로잡을 부분

문제의 두 함수를 정확히 적으면

\[ f(x)=3^x,\qquad g(x)=3^{\frac{x}{3}+1} \]

입니다. 두 번째 함수는 지수 전체가 \(\frac{x}{3}+1\)인 함수입니다. 이 뜻으로 \(g\)를 정했다면, 교점의 \(x\)좌표가 \(\frac32\)라는 판단은 맞습니다.

\[ \begin{aligned} 3^x=3^{\frac{x}{3}+1} &\Longrightarrow x=\frac{x}{3}+1\\ &\Longrightarrow x=\frac32. \end{aligned} \]

또 \(C\)의 \(x\)좌표가 더 크고 \(CD\)의 기울기가 양수이므로, \(C\)의 \(y\)좌표도 \(D\)보다 큽니다. 다만 두 점의 \(x\)좌표는 서로 다르므로, 두 곡선의 교점을 기준으로 한 위치만으로 사다리꼴의 배치를 결정할 수는 없습니다.

계산이 맞지 않은 핵심은 사다리꼴의 평행한 두 변을 수평으로 가정한 부분입니다. 사다리꼴의 평행한 대변은 \(AB,CD\) 또는 \(AD,BC\)입니다. \(AB\)는 수직인데 \(CD\)는 기울기가 양수인 직선이므로 두 변은 평행할 수 없습니다. 따라서

\[ \boxed{AD\parallel BC} \]

입니다. 여기서 두 변이 평행하다는 것은 기울기가 같다는 뜻이며, 수평이라는 조건은 아닙니다.

실제로 \(D\)의 \(y\)좌표를 \(3\)으로 정하면 \(D=(1,3)\)입니다. \(AD\)가 수평이므로 \(BC\)도 수평이고, \(C=(3,9)\)가 됩니다. 이때 넓이는

\[ \frac{1+3}{2}\times6=12 \]

이므로 주어진 넓이 \(8\)을 만족하지 않습니다.

2. 좌표와 공통 기울기를 정하기

두 점을

\[ D=(d,3^d),\qquad C=\left(c,3^{\frac c3+1}\right) \]

로 놓겠습니다. 주어진 조건에 의해 \(d<c\)입니다. 사다리꼴이 성립하려면 두 점은 \(y\)축의 같은 쪽에 있어야 하고, 왼쪽 배치는 평행 조건을 만족할 수 없습니다. 따라서 \(0<d<c\)로 놓고 진행합니다.

왜 두 점은 반드시 y축의 오른쪽에 있을까?

사다리꼴 \(ABCD\)는 꼭짓점이 순서대로 연결된 볼록한 도형입니다. \(AD\parallel BC\)인데 \(C,D\)가 \(y\)축의 서로 반대쪽에 있으면 변 \(CD\)가 변 \(AB\)를 가로질러, 사다리꼴이 될 수 없습니다. 따라서 두 점의 \(x\)좌표는 같은 부호입니다. \(x\)좌표가 \(0\)인 배치도 변이나 꼭짓점이 겹쳐 제외됩니다.

왼쪽 배치인 \(d<c<0\)를 가정하고, \(t=-c\), \(s=-d\)로 놓으면 \(0<t<s\)입니다. 이때 \(g(c)<3\), \(0<f(d)<1\)이므로

\[ \begin{aligned} \operatorname{slope}(BC) &=\frac{9-g(c)}{t}>\frac6t,\\ \operatorname{slope}(AD) &=\frac{3-f(d)}{s}<\frac3s<\frac3t. \end{aligned} \]

따라서 두 기울기는 같을 수 없습니다. 왼쪽 배치가 제외되므로 \(0<d<c\)입니다.

평행한 두 직선 \(AD,BC\)의 공통 기울기를 \(k\)라고 하면, 두 직선의 방정식은

\[ AD:\ y=kx+3,\qquad BC:\ y=kx+9 \]

입니다. \(k\)는 두 평행한 변의 기울기이고, 문제에서 구하는 \(m\)은 직선 \(CD\)의 기울기입니다.

3. 변의 길이와 두 변 사이의 거리는 어떻게 구할까?

다음 그림은 길이와 높이의 관계를 설명하기 위한 일반적인 평행변 배치입니다. 곡선 위에 있다는 조건과 넓이 \(8\)은 아직 반영하지 않았습니다.

먼저 \(d,c\)는 변의 길이가 아니라 각각 \(D,C\)의 \(x\)좌표입니다. \(A,B\)는 \(y\)축 위에 있으므로, \(d,c\)는 각 변을 따라갈 때의 가로 이동량이기도 합니다.

기울기가 \(k\)라는 것은 가로 이동량이 \(d\)일 때 세로 이동량이 \(kd\)라는 뜻입니다. 따라서 \(A\)에서 \(D\)로 가는 변위를 직각삼각형의 두 변으로 보면, 피타고라스 정리에 의해

\[ |AD|=\sqrt{d^2+(kd)^2}=d\sqrt{1+k^2}. \]

마찬가지로 \(B\)에서 \(C\)까지의 가로 이동량은 \(c\), 세로 이동량은 \(kc\)이므로

\[ |BC|=\sqrt{c^2+(kc)^2}=c\sqrt{1+k^2}. \]

다음으로 사다리꼴의 높이는 평행한 두 직선 사이의 수직거리입니다. \(AB=6\)은 세로 방향의 간격이므로, 기울어진 두 변 사이의 높이와 바로 같지는 않습니다.

\(A\)에서 직선 \(BC\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하면 높이는 \(AH\)입니다. 수선의 발은 \(BC\)를 연장한 선 위에 있을 수도 있습니다. 두 평행한 직선과 수평선이 이루는 작은 각을 \(\theta\)라 합시다. 가로 길이 \(1\), 세로 길이 \(|k|\)인 직각삼각형을 생각하면

\[ \tan\theta=|k|,\qquad \cos\theta=\frac1{\sqrt{1+k^2}}. \]

\(AB\)는 수평선에 수직이고, \(AH\)는 \(BC\)에 수직입니다. 두 선을 각각 직각만큼 돌려도 사이의 작은 각은 같으므로, \(\angle BAH=\theta\)입니다. 직각삼각형 \(ABH\)에서 \(AB\)가 빗변이고 \(AH\)가 이 각에 인접한 변이므로

\[ \frac{AH}{AB}=\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad AH=\frac6{\sqrt{1+k^2}}. \]

이제 사다리꼴의 넓이 공식에 대입합니다.

\[ \begin{aligned} 8&=\frac{|AD|+|BC|}{2}\cdot AH\\ &=\frac{(c+d)\sqrt{1+k^2}}2\cdot \frac6{\sqrt{1+k^2}}\\ &=3(c+d). \end{aligned} \]

변의 길이에 붙는 \(\sqrt{1+k^2}\)와 높이의 분모가 약분되므로, 기울기를 구하지 않아도

\[ \boxed{c+d=\frac83} \]

을 얻습니다.

4. 왜 원점 중심으로 1/3배 축소할까?

평행한 직선 \(BC\)를 \(AD\)로 옮기려면, 먼저 \(B=(0,9)\)를 \(A=(0,3)\)로 보내는 변환을 찾는 것이 자연스럽습니다. 원점 중심으로 \(\frac13\)배 축소하면

\[ \begin{gathered} (x,y)\longmapsto\left(\frac x3,\frac y3\right),\\ B=(0,9)\longmapsto(0,3)=A. \end{gathered} \]

가 됩니다. 이 변환에서는 가로·세로 이동량이 모두 같은 비율로 줄어들므로 기울기는 유지됩니다.

\[ \frac{\Delta y/3}{\Delta x/3} =\frac{\Delta y}{\Delta x}=k. \]

따라서 축소된 직선 \(BC\)는 \(A\)를 지나면서 기울기가 \(k\)인 직선입니다. 직선 \(AD\)도 \(A\)를 지나고 기울기가 \(k\)이므로, 두 직선은 일치합니다.

좌표식으로도 확인할 수 있습니다. \(BC\) 위의 점은 \(y=kx+9\)를 만족하므로

\[ \frac y3=k\frac x3+3. \]

즉, 축소된 좌표를 \((X,Y)=(x/3,y/3)\)라 하면 \(Y=kX+3\)이고, 이것이 바로 직선 \(AD\)의 방정식입니다.

5. 축소한 C는 왜 D가 될까?

\(C\)를 축소한 점을 \(C'\)라고 하면

\[ \begin{aligned} C&=\left(c,3^{\frac c3+1}\right),\\ C'&=\left(\frac c3,\frac{3^{\frac c3+1}}3\right)\\ &=\left(\frac c3,3^{\frac c3}\right). \end{aligned} \]

\(C'\)는 \(x\)좌표가 \(\frac c3\)이고 \(y\)좌표가 \(3^{c/3}\)이므로, 곡선 \(f(x)=3^x\) 위에 있습니다. 동시에 축소된 직선 \(BC\), 즉 직선 \(AD\) 위에도 있습니다. 따라서 \(C'\)와 \(D\)는 모두 직선 \(AD\)와 곡선 \(f\)의 교점입니다.

다음 그림은 뒤에서 구하는 실제 좌표로 축소 관계를 표시한 것입니다. 축소비를 움직이면 \(B,C\)가 원점을 향해 이동하고, \(\frac13\)에서 각각 \(A,D\)와 일치하는 모습을 확인할 수 있습니다.

축소비

여기서 두 교점이 같은 점임을 확인해야 합니다. \(c+d=\frac83\)이고 \(d>0\)이므로 \(c<\frac83<3\)입니다. 따라서

\[ g(c)=3^{\frac c3+1}<9, \qquad k=\frac{g(c)-9}{c}<0. \]

직선 \(AD\)는 감소하고, 곡선 \(f(x)=3^x\)는 증가합니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 이동할수록 곡선의 높이는 커지고 직선의 높이는 작아지므로, 둘은 두 번 만날 수 없습니다. 이미 교점 \(D\)가 존재하므로 \(C'\)는 바로 \(D\)입니다.

\[ C'=D \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\frac c3=d}. \]

이 단계에서 축소된 선분 \(BC\)의 두 끝점도 각각 \(A,D\)임이 확인됩니다. \(\frac13\)배 축소를 선택한 이유는 \(B\)를 \(A\)로 보내는 동시에, \(C\)의 지수에 있는 \(+1\)을 없애서 \(C'\)를 \(f\) 위의 점으로 만들 수 있기 때문입니다.

6. 기울기와 정답 계산

이제 두 관계를 함께 사용하면

\[ \begin{gathered} c+d=\frac83,\qquad c=3d\\ \Longrightarrow\quad d=\frac23,\qquad c=2. \end{gathered} \]

따라서

\[ D=\left(\frac23,3^{\frac23}\right),\qquad C=\left(2,3^{\frac53}\right). \]

직선 \(CD\)의 기울기는

\[ m=\frac{3^{\frac53}-3^{\frac23}}{2-\frac23} =\frac{2\cdot3^{\frac23}}{\frac43} =\frac{3^{\frac53}}2>0. \]

그러므로 구하는 값은

\[ \boxed{8m^3 =8\left(\frac{3^{\frac53}}2\right)^3 =3^5=243}. \]

처음 풀이에서 교점 계산은 맞았고, 바로잡아야 할 부분은 평행한 변을 수평으로 정한 가정입니다. 그 가정을 풀고 \(AD\parallel BC\)를 사용하면, 넓이에서 \(c+d\)를 구하고 축소 변환에서 \(c=3d\)를 얻어 좌표를 결정할 수 있습니다.