2 : 1 내분에서 축소·대칭·평행이동을 얻는 이유

이 접근은 A와 C의 구체적인 위치 순서를 정하지 않아도 가능합니다. 내분 조건이 두 점의 수직 방향 관계를 이미 정해 주기 때문입니다. 다만 각 쌍의 평행이동량이 같다는 결론에는 길이 조건과 불교차 조건이 추가로 필요합니다. 문제의 답은 13입니다.

문제의 조건

양수 $a, b, k$ 와 $a > 1$ 에 대하여 다음 두 곡선의 $x > - 2$ 인 서로 다른 두 교점을 A, B라 합니다.

y = a^{x}, y = \frac{1}{2} (x + 2)^{2} .

다음 두 곡선의 서로 다른 두 교점을 C, D라 합니다.

y = \frac{1}{2} \log_{a} (b x - \frac{3}{4}),

y = \sqrt{x - k} - \frac{3}{4} .

선분 AC와 BD는 서로 만나지 않습니다. 각각을 2 : 1로 내분하는 점은 모두 $y = x$ 위에 있고, $\bar{A B} = 2 \bar{C D}$ 입니다. $a + b + k = q / p$ 일 때 서로소인 자연수 $p, q$ 의 합을 구합니다.

1. A와 C의 위치를 미리 정할 필요가 없는 이유

$A = (r, s)$ , $C = (u, v)$ 라 하고, $A P : P C = 2 : 1$ 인 내분점을 P라 합시다. P가 $y = x$ 위에 있으므로

P = (\frac{r + 2 u}{3}, \frac{s + 2 v}{3}),

r + 2 u = s + 2 v .

이 식을 정리하면

u - \frac{s}{2} = v - \frac{r}{2} = t_{A}

인 어떤 실수 $t_{A}$ 가 존재합니다. 따라서

C = (\frac{s}{2} + t_{A}, \frac{r}{2} + t_{A}) .

A의 좌표를 각각 절반으로 줄인 뒤 $y = x$ 에 대칭이동한 점은 $A^{''} = (s / 2, r / 2)$ 이므로, 곧

C = A^{''} + (t_{A}, t_{A})

입니다. $t_{A}$ 는 음수·0·양수 모두 허용합니다. C가 A″의 오른쪽 위에 있을 때뿐 아니라 왼쪽 아래에 있을 때도 같은 식이 성립합니다.

수선의 발을 이용한 설명도 같은 내용입니다. $δ (X) = y_{X} - x_{X}$ 라 두면 내분 조건에서

δ (C) = - \frac{1}{2} δ (A)

를 얻습니다. 즉 A와 C는 $y = x$ 의 반대쪽에 있고, C의 수직 거리는 A의 절반입니다. 축소·대칭한 A″도 정확히 같은 쪽에서 같은 수직 거리를 가집니다. 그러므로 C와 A″는 $y = x$ 에 평행한 한 직선 위에 놓입니다. 수선의 발 A′와 C′의 순서는 이 결론에 영향을 주지 않습니다.

아래는 이 기하 관계만을 보여 주는 예시입니다. 실제 문제의 교점 대신 $A = (0, 4)$ 를 택했습니다. $t = - 3 / 4$ 에서는 C′가 A′보다 왼쪽 아래에, $t = 5 / 2$ 에서는 오른쪽 위에 있습니다. 두 경우 모두 같은 내분·축소·대칭 관계를 만족합니다.

원래 문제에서 대각선의 어느 쪽인지는 사실 이미 정해져 있습니다. A, B가 놓인 포물선에서

y - x = \frac{(x + 1)^{2} + 3}{2} > 0

이므로 A, B는 $y = x$ 위쪽이고, 내분 조건에 따라 C, D는 아래쪽입니다. 아직 정하지 않아도 되는 것은 대각선에 나란한 방향에서의 순서입니다.

2. 두 쌍에 같은 t를 써도 되는 이유

지금까지 얻은 것은 각 쌍에 대한 $t_{A}, t_{B}$ 의 존재입니다. 공통값을 증명하겠습니다. 두 내분점을 $P = (α, α)$ , $Q = (β, β)$ 라 하면, AC와 BD가 만나지 않으므로 $α \neq β$ 입니다.

점의 덧셈과 뺄셈을 좌표별로 하겠습니다. 내분 공식에서

2 C = 3 P - A, 2 D = 3 Q - B .

$B - A = (h, j)$ , $d = 3 (β - α) \neq 0$ 이라 쓰면

2 (D - C) = (d - h, d - j) .

거리 조건 $\bar{A B} = 2 \bar{C D}$ 를 제곱하여

h^{2} + j^{2} = (d - h)^{2} + (d - j)^{2},

2 d (d - h - j) = 0.

$d \neq 0$ 이므로 $d = h + j$ 입니다. 이를 대입하면

D - C = (\frac{j}{2}, \frac{h}{2}) .

이는 B−A를 절반으로 축소하고 $y = x$ 에 대칭이동한 벡터입니다. 따라서 $T (x, y) = (y / 2, x / 2)$ 라 두었을 때

D - T (B) = C - T (A) = (t, t)

인 공통 실수 t가 존재합니다. 이제 두 대응을 같은 변환

F (x, y) = (\frac{y}{2} + t, \frac{x}{2} + t)

으로 표현해도 됩니다. 이 증명은 점들을 그림에서 어느 순서로 놓았는지 사용하지 않습니다. 불교차 조건은 두 내분점이 같아지는 경우를 배제하는 데 쓰였습니다.

3. 두 교점에서 성립하는 식으로 t와 k 결정

A 또는 B의 원래 좌표를 $(x, y)$ , 대응하는 C 또는 D의 좌표를 $(X, Y)$ 라 합시다. 공통변환에 따라

X = \frac{y}{2} + t, Y = \frac{x}{2} + t .

원래 포물선 $y = (x + 2)^{2} / 2$ 를 대입하면

X = (Y - t + 1)^{2} + t .

또 C, D는 $Y = \sqrt{X - k} - 3 / 4$ 위에 있으므로

X = (Y + \frac{3}{4})^{2} + k .

따라서 C, D 각각의 Y좌표에서 다음 식이 성립합니다.

2 (\frac{1}{4} - t) Y + (1 - t)^{2} + t - \frac{9}{16} - k = 0.

C와 D는 엄격히 증가하는 근호함수 위의 서로 다른 두 점이므로 Y좌표도 서로 다릅니다. Y에 대한 위 일차식이 서로 다른 두 값에서 0이므로 계수와 상수항이 모두 0입니다.

t = \frac{1}{4}, k = \frac{1}{4} .

4. a와 b 결정

원래 지수함수 $y = a^{x}$ 와 좌표변환에서

2 (X - t) = a^{2 (Y - t)} .

양변에 $a^{2 t}$ 를 곱하고, C, D가 주어진 로그함수 위에 있다는 사실을 사용하면

b X - \frac{3}{4} = a^{2 Y}

= 2 a^{2 t} (X - t) .

$t = 1 / 4$ 를 대입하여

b X - \frac{3}{4} = 2 \sqrt{a} X - \frac{\sqrt{a}}{2} .

C와 D의 X좌표는 서로 다르므로, 두 일차식의 계수를 비교할 수 있습니다.

b = 2 \sqrt{a}, \frac{\sqrt{a}}{2} = \frac{3}{4} .

a = \frac{9}{4}, b = 3.

이 계수 비교는 두 곡선 전체가 처음부터 같다고 가정한 것이 아닙니다. 서로 다른 두 교점에서 같은 일차식 관계가 성립한다는 사실을 이용했습니다.

a + b + k = \frac{9}{4} + 3 + \frac{1}{4} = \frac{11}{2} .

따라서 $p = 2$ , $q = 11$ 이고, 구하는 값은 $p + q = 13$ 입니다.

5. 구한 값이 실제 조건을 만족하는지 확인

$x > - 2$ 에서 처음 두 곡선의 교점 방정식은

H (x) = (\frac{3}{2})^{x} - \frac{x + 2}{\sqrt{2}} = 0

과 동치입니다. $H^{''} (x) > 0$ 이고, $H (- 2) > 0$ , $H (- 1) < 0$ , $H (2) < 0$ , $H (4) > 0$ 입니다. 따라서 정확히 두 근이 있으며, 각각 $(- 2, - 1)$ 과 $(2, 4)$ 에 있습니다. 왼쪽 교점을 A, 오른쪽 교점을 B로 잡습니다.

$t = 1 / 4$ 인 F는 원래 지수함수를 문제의 로그함수로, 원래 포물선의 $x > - 2$ 인 가지를 근호함수의 끝점을 제외한 부분으로 일대일로 옮깁니다. 근호함수의 끝점에서는 로그함수가 정의되지 않으므로 C, D도 정확히 두 교점입니다. 이 변환은 거리를 절반으로 줄이며, 각 내분점은 $y = x$ 위에 놓입니다.

또 A의 y좌표는 $1 / 2$ 보다 작으므로 C의 x좌표는 $1 / 2$ 보다 작습니다. A 자체의 x좌표도 −1보다 작아서 AC 전체는 $x < 1 / 2$ 에 놓입니다. B의 x좌표는 2보다 크고 y좌표는 8보다 커서, BD 전체는 $x > 2$ 에 놓입니다. 그러므로 AC와 BD는 만나지 않습니다.

그림으로 닮음을 읽을 때에는 수선의 발의 순서에 따라 길이의 덧셈·뺄셈을 주의해야 합니다. 여기서는 내분점의 좌표식 또는 부호를 포함한 수직 거리로 정리하면 모든 배치를 한꺼번에 다룰 수 있습니다.