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역함수와 닮음: 좌표를 먼저 결정하는 풀이
이 문제의 핵심은 역함수 → 대칭, 직선의 식 → 평행, 닮음 → 직각과 길이비로 조건을 바꾸어 읽는 데 있습니다. 함수식에 수치를 대입하는 계산은 마지막 한 번이면 충분합니다.
문제의 조건
\[ \begin{gathered}f(x)=\sqrt3\,a^x,\quad a>1,\\g(x)=\log_a\frac{x}{\sqrt3}.\end{gathered} \]- \(A\): 곡선 \(y=f(x)\)와 직선 \(x+y=-\frac23\)의 교점.
- \(B,C\): 직선 \(x+y=\frac23\)과 곡선 \(y=f(x),y=g(x)\)의 교점.
- \(D=(-\frac23,0)\)이고, \(\triangle CBA\sim\triangle BAD\).
구할 값은 \(a^2\)입니다.
1. 역함수라는 관찰을 좌표에 사용하기
두 함수는 서로 역함수이므로 두 그래프는 직선 \(y=x\)에 대칭입니다. 또한 \(x+y=\frac23\)은 \(x,y\)를 바꾸어도 같은 직선입니다. 따라서 이 직선 위의 두 교점 \(B,C\)도 서로 대칭입니다.
\[ \begin{gathered} B=\left(\frac23-t,t\right),\\ C=\left(t,\frac23-t\right). \end{gathered} \]\(f\)는 증가하고 \(f(0)=\sqrt3>\frac23\)이므로 \(B\)의 \(x\)좌표는 음수입니다. 따라서 \(t>\frac23\)이고, \(B\)는 제2사분면, \(C\)는 제4사분면에 있습니다.
2. 닮음을 길이비보다 먼저 각에 사용하기
\(D=(-\frac23,0)\)를 대입하면 \(x+y=-\frac23\)을 만족합니다. 따라서 \(A,D\)는 같은 직선 위에 있고, \(B,C\)도 같은 직선 위에 있으므로
\[ AD\parallel BC. \]\(A\)는 제2사분면에 있으며 \(x_A<-\frac23\)입니다. 그러므로 \(A\)에서 \(D\)로, \(B\)에서 \(C\)로 향하는 두 반직선은 모두 오른쪽 아래를 향합니다. 반면 \(AB\)와 \(BA\)는 반대 방향이므로
\[ \angle CBA+\angle BAD=180^\circ. \]닮음 기호에서는 일반적으로 나열한 꼭짓점의 순서가 대응을 나타냅니다. 이 문제에서는 그 관례에 의존하지 않고도 두 각의 대응을 증명할 수 있습니다. \(\alpha=\angle CBA\), \(\beta=\angle BAD\)라 두면 앞에서 \(\alpha+\beta=180^\circ\)를 얻었습니다.
두 삼각형이 닮았으므로 \(\triangle BAD\) 안에는 크기가 \(\alpha\)인 각이 반드시 있습니다. 그런데 이 삼각형에서 \(\beta\)를 제외한 두 내각의 합은
\[ \angle ABD+\angle BDA =180^\circ-\beta=\alpha \]입니다. 두 각은 모두 양수이므로 각각 \(\alpha\)보다 작습니다. 따라서 \(\alpha\)와 같은 각은 \(\angle BAD\)뿐입니다. 즉, 꼭짓점 순서를 미리 가정하지 않아도
\[ \alpha=\beta=90^\circ \]임을 알 수 있습니다. 따라서
\[ AB\perp BC. \]직선 \(BC\)의 기울기가 \(-1\)이므로 직선 \(AB\)의 기울기는 \(1\)입니다.
아래는 닮음 조건까지 반영한 배치입니다. 두 축의 단위는 같고, 곡선과 모든 점은 실제 수식과 좌표에 맞게 표시했습니다.
3. 기울기 1을 이용해 좌표를 하나로 정리하기
\(A\)에서 \(B\)로 갈 때 \(x+y\)의 값은 \(-\frac23\)에서 \(\frac23\)으로 \(\frac43\)만큼 증가합니다. \(AB\)의 기울기가 \(1\)이므로 가로·세로 증가량이 같아서, 각각 \(\frac23\)입니다.
\[ A=\left(-t,t-\frac23\right). \]기울기가 \(1\) 또는 \(-1\)인 선분은 가로·세로 이동량의 절댓값이 같으므로, 길이는 가로 이동량의 절댓값에 \(\sqrt2\)를 곱하면 됩니다. 따라서
직각 꼭짓점의 대응은 \(B\leftrightarrow A\)로 확정되었습니다. 공통변 \(AB\)를 서로 대응시킬 경우 닮음비가 \(1\)이 되어 \(BC=AD\)여야 합니다. 그러나 위 길이에서 \(BC>AD\)이므로 이 대응은 불가능합니다. 따라서 나머지 대응인 \(CB\leftrightarrow BA\), \(BA\leftrightarrow AD\)가 성립하고,
\[ \frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AD} \quad\Longrightarrow\quad BC\cdot AD=AB^2. \]길이를 대입하면 \(\sqrt2\) 인자가 약분되어
\[ \left(2t-\frac23\right)\left(t-\frac23\right)=\frac49. \] \[ 2t^2-2t+\frac49=\frac49 \quad\Longrightarrow\quad 2t(t-1)=0. \]\(t>\frac23\)이므로 \(t=1\)입니다. 따라서
\[ B=\left(-\frac13,1\right). \]4. 마지막에 함수식을 한 번 사용하기
\(B\)는 \(y=f(x)\) 위의 점이므로
\[ 1=\sqrt3\,a^{-\frac13} \quad\Longrightarrow\quad a^{\frac23}=3. \]양변을 세제곱하면 \(\boxed{a^2=27}\)입니다.
다음 문제에서 다시 사용할 읽는 순서
| 주어진 조건 | 바꾸어 읽을 관계 |
|---|---|
| 서로 역함수 | \(y=x\) 대칭 → 대응점의 좌표 교환 |
| \(x+y=\text{상수}\) | 기울기 \(-1\), 좌표의 합 고정 |
| 두 삼각형의 닮음 | 대응 순서 확인 → 각부터 확인 → 필요한 길이비 |
| 미정인 밑 \(a\) | 기하로 좌표를 정한 뒤 함수식에 대입 |
처음의 역함수 관찰은 정확했습니다. 다음에는 그 관찰을 좌표 교환으로 구체화하고, 주어진 점 \(D\)를 직선식에 대입해 평행 관계를 찾아보세요. 닮음은 먼저 각을 정리하는 데 사용하면 계산이 줄어듭니다.
계산 결과를 원래 조건에 대입해 확인
최종 좌표는 \(A=(-1,\frac13)\), \(B=(-\frac13,1)\), \(C=(1,-\frac13)\), \(D=(-\frac23,0)\)이고, \(a=3\sqrt3\)입니다.
\(f(-1)=\frac13\), \(f(-\frac13)=1\), \(g(1)=-\frac13\)이므로 세 점은 각각의 곡선 위에 있습니다. 또한
\[ \begin{gathered} BC=\frac{4\sqrt2}{3},\quad AB=\frac{2\sqrt2}{3},\\ AD=\frac{\sqrt2}{3}. \end{gathered} \]이므로 두 직각삼각형의 대응하는 두 변의 비는 모두 \(2:1\)이며, 주어진 닮음을 만족합니다.