54번 · 첫 변환 점검

현재 살펴볼 조건

$a>0$, $x>0$에서

문제에는 직선 $AB$가 $y=x$이고, $A$를 지나는 수직선과 $g$의 교점을 $C$라 할 때 $AC=1$이라는 조건이 있습니다. 공통점 $D$는 선분 $AB$의 수직이등분선 위에 있습니다. 지금은 첫 변환과 다음 한 단계까지만 확인합니다.

어디서 부호가 바뀌었나

먼저 아래로 $a$만큼 이동하면

여기서 $x$, $y$를 맞바꾸고 새 $y$에 대해 풀면

마지막으로 위로 $1$만큼 옮기면

지수의 분자에 $+a$가 남으므로 주어진 $g$와 다릅니다.

수정할 방향

첫 이동을 위로 $a$만큼으로 바꾸면 됩니다. 다음과 같이 놓고 역함수의 식을 확인해 보세요.

따라서 함수식의 변환 순서는 위로 $a$ 이동 → $y=x$ 대칭 → 위로 $1$ 이동입니다.

아래 그림은 변환 확인을 위해 $a=2$, $b=-3$으로 둔 예시입니다. $h=f+a$와 $h^{-1}=g-1$의 서로 대응하는 부분만 그렸으며, 이 매개변수를 문제의 해로 정한 것은 아닙니다.

정의역도 구별해야 합니다. 원래 $x>0$인 부분을 위 순서로 옮기면 새 좌표는 $(u,v)\mapsto (v+a,u+1)$이므로 $x>2a+b$, $y>1$인 부분이 됩니다. 위의 결론은 우선 함수식의 관계이며, 제한된 두 그래프 전체가 그대로 일치한다는 뜻은 아닙니다.