42번 풀이 검증

삼각함수 변형과 직각삼각형을 이용한 접근은 맞습니다. 다만 코사인의 부호를 잘못 선택했습니다. 정답은 $k^{2} = 50$ 입니다.

문제의 조건

f (x) = k \sin (\frac{π}{2} x) + 2, k > 0.

$f (a)$ 와 $f (a + 3)$ 이 모두 자연수이고 $0 < a < 2$ 인 모든 $a$ 는 정확히 네 개이며,

a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4},

0 < a_{1} < 1, f (a_{3}) = 7

입니다. 자연수는 $1, 2, 3, \dots$ 입니다.

1. 필기에서 맞는 부분

주기를 $4$ 로 읽은 것과 다음 변형은 정확합니다.

f (a + 3) = 2 - k \cos (\frac{π a}{2}) .

또한 $f (a_{3}) = 7$ 이므로

k \sin (\frac{π a_{3}}{2}) = 5,

| k \cos (\frac{π a_{3}}{2}) | = \sqrt{k^{2} - 25}

까지는 맞습니다. 직각삼각형이 주는 것은 코사인 성분의 절댓값입니다.

2. 고쳐야 하는 부호

$0 < a < 1$ 에서는 코사인이 양수이므로 $f (a + 3) < 2$ 입니다. 자연수라면 반드시 $f (a + 3) = 1$ 입니다. 이 구간에서 $f (a + 3)$ 은 엄격히 증가하므로 가능한 $a$ 는 최대 한 개입니다. $a_{3}$ 은 세 번째 해이므로 $a_{3} > 1$ 입니다.

\frac{π}{2} < \frac{π a_{3}}{2} < π,

k \cos (\frac{π a_{3}}{2}) = - \sqrt{k^{2} - 25} .

따라서 필기의 $2 - \sqrt{k^{2} - 25}$ 대신

f (a_{3} + 3) = 2 + \sqrt{k^{2} - 25}

로 계산해야 합니다. 따라서 자연수 조건만으로 $\sqrt{k^{2} - 25} = 1$ 이라고 결론낼 수 없습니다.

3. 기존 풀이를 이어서 후보 구하기

$0 < a_{1} < 1$ 이므로 $f (a_{1} + 3) = 1$ 입니다. 다음을 양의 정수로 둡니다.

r = f (a_{1}) - 2, s = f (a_{3} + 3) - 2.

사인과 코사인의 제곱합을 이용하면

k^{2} = r^{2} + 1 = 25 + s^{2},

r^{2} - s^{2} = 24,

(r - s) (r + s) = 24.

두 인수는 양의 정수이며 짝홀이 같으므로, 가능한 인수쌍은 $(2, 12)$ 와 $(4, 6)$ 입니다.

(r, s) = (7, 5), (5, 1) .

따라서 후보는 $k^{2} = 50$ 또는 $k^{2} = 26$ 입니다. 이제 가능한 $a$ 의 개수와 순서를 확인해야 합니다.

4. 네 개 조건으로 최종 확인

다음 정수들을 쓰면 빠짐없이 셀 수 있습니다.

m = f (a) - 2 > 0,

y = f (a + 3) - 2 \geq - 1,

m^{2} + y^{2} = k^{2.}

$0 < a < 2$ 에서 $y = - k \cos (π a / 2)$ 는 엄격히 증가합니다. 따라서 $y$ 가 작은 순서가 곧 $a$ 가 작은 순서입니다. 역으로 이러한 정수쌍은 각각 유일한 $a$ 를 결정합니다.

$k^{2} = 26$ 인 경우: 정수쌍은 $(m, y) = (5, - 1), (5, 1), (1, 5)$ 뿐입니다.

순서	$m$	$y$	$f (a)$	$f (a + 3)$
1	5	−1	7	1
2	5	1	7	3
3	1	5	3	7

가능한 $a$ 가 세 개뿐이며, 세 번째 해에서는 $f (a_{3}) = 3$ 입니다. 즉 $26$ 은 두 조건 모두 만족하지 않습니다. 그래프에서 $y = 7$ 인 감소 구간의 점은 $a_{3}$ 이 아니라 $a_{2}$ 입니다.

$k^{2} = 50$ 인 경우: 정수쌍은 $(m, y) = (7, - 1), (7, 1), (5, 5), (1, 7)$ 뿐입니다.

순서	$m$	$y$	$f (a)$	$f (a + 3)$
1	7	−1	9	1
2	7	1	9	3
3	5	5	7	7
4	1	7	3	9

해는 정확히 네 개이고, 첫 해는 $0 < a_{1} < 1$ 에 있으며, 세 번째 해에서 $f (a_{3}) = 7$ 입니다. 특히 $a_{3} = \frac{3}{2}$ 입니다. 모든 조건을 만족하므로

k^{2} = 50.

풀이에 추가할 한 문장

“ $a_{3} > 1$ 이므로 코사인은 음수이다. 따라서 $f (a_{3} + 3) = 2 + \sqrt{k^{2} - 25}$ 이며, $a_{1}$ 의 조건과 해가 정확히 네 개라는 조건까지 사용해 $k^{2} = 50$ 을 얻는다.”

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